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各向異性介質中的Maxwell方程離散化
各向異性介質中的Maxwell方程離散化
2.1 電磁場基礎知識
2.1.1 電磁場的Maxwell方程
電現象和磁現象并非是孤立的，它們是一矛盾統一體整體，麥克斯韋方程組成功完美地再現了宏觀電磁場交互變化的全部規律。在任意交變的電磁場中，麥克斯韋方程組[6]表達為：
（2.1.1.1）
它具有以下的特性：
A. 電磁場擾動的傳播可以不依賴于電荷及電流而獨立存在。方程中的第一式和第三式，決定了磁場在其周圍激發渦旋性的變化磁場，而變化的磁場又在其周圍激發渦旋性的變化的電場，因此任何一處發生電磁擾動，都會自動地激發起緊鄰介質中的電磁場，在這些如此繼續下去。因而，電磁擾動的傳播是不依賴于電荷及電流而獨立存在的。
B．方程的完備性。若電磁場在體積V內各點的初始值，及全部時間內電場和磁場在V的邊界上的值為已知，則任何時刻各點的電磁場由麥克斯韋方程唯一確定，該性質體現了麥克斯韋方程的完備性。
C．方程的一致性。方程組中第一式和第四式可以互相推導，兩式相一致。類似地第二式和第三式是一致的。
媒介中的電磁性質方程，媒介中的電磁場分布除了與場源有關外，還決定于媒介的性質。我們知道在恒定的場中，對于無限的均勻的各向同性的非鐵磁性介質有
（2.1.1.2）
（2.1.1.3）
在導體中則有： 式子中分別為媒介的電導率、介電常數和磁導率，均為坐標函數。 是來自其它外來力的等效電場。
實際上，變化電磁場的頻率，以及介質溫度的變化都會起到這些媒質參數的變化，因而使得介質中的變化電磁場求解問題變得十分復雜，通常為了反映問題的主要方面，可以忽略這些變化因素，從而假定這些參數都是不隨頻率、溫度和時間變化的。
2.1.2 Yee式網格
葉(Yee)式網格是用于解決直角網格中的矢量電磁場問題的一種方法。如圖(2.1.2.1)選取直角坐標系XOYOZ，其中Ex、Ey、Ez、分別是為E在各坐標上的投影，Hx、Hy、Hz則分別是H在各坐標軸上的投影，可見葉(Yee)式網格為一空心的立方元，所涉及到的分量交替并存，并可注意到在葉(Yee)式網格中，電場分量總被指定在立方體的邊線中心，而磁場分量總被指定在立方體的面之中心。它顯示了麥克斯韋方程組中頭兩個方程表達式的電磁場相互作用的特征關系。
圖2.1葉（Yee）式網格圖
2.2 Maxwell方程的離散化
2.2.1各向同性介質中Maxwell方程的Yee式網格離散化
在離散化過程中，三維介質離散成正六面體單元，每個單元為一個各向同性均勻電性體。將離散電場分量定義在正六面體單元邊的中點，離散磁場分量定義在正六面體單元每個側面面元的中心，如圖（2.1）所示。
假設場的時間變化為 , 其中 , 是圓頻率，頻率域中的Maxwell 方程[7]為：
. (2.2.1.1)
(2.2.1.2)
式中 是磁導率， 是各向同性電導率； 表示電場， 表示磁場； 是電流密度。
對式子(2.2.1.1)兩邊取旋度得：
代入式子(2.2.1.2)整理得：
(2.2.1.3)
把 分為背景場 和二次場 ，即 代入式子(2.2.1.3)整理得：
(2.2.1.4)
又因： 代入式子(2.2.1.4)整理得：
(2.2.1.5)
由：
(2.2.1.6)
為了簡化書寫，將 中的下標“ｓ”省去，將式子(2.2.1.6)代入式子(2.2.1.5)
得電場的三個分量方
(2.2.1.7a)
(2.2.1.7b)
(2.2.1.7c)
分別對上述三式離散化：
以方程(2.2.1.7a)為例導出場分量的離散化方程。按圖（2.2.1.1）的場分布離散化，式子(2.2.1.6)右端第一個分量式得到：
（2.2.1.8）
（2.2.1.9）
把上式代入方程(2.2.7a)整理的：
式中, , 是相鄰網格長度的平均值;其他兩個分量的離散化關系式可輪換下腳標和坐標變量得到。
2.2.2各向異性介質中Maxwell的方程Yee式網格離散化
在離散化過程中，三維介質離散成正六面體單元，每個單元為一個各向異性均勻電性體。同上將離散電場分量定義在正六面體單元邊的中點，離散磁場分量定義在正六面體單元每個側面面元的中心，如圖（2.1）所示。
假設場的時間變化為 , 其中 , 是圓頻率，頻率域中的Maxwell 方程[7,8,9]為
， (2.2.2.1)
， (2.2.2.2)
， (2.2.2.3)
式中 是磁導率，等于 ； 是各向異性電導率； 表示電場， 表示磁場； 和 分別是電流密度和磁流密度。
下邊以磁偶極子 ( 和 ) 為例導出Maxwell方程的離散化形式。由(2.2.2.1)和(2.2.2.2)得到二階電場矢量的Helmholtz方程，在似穩態條件下有
， (2.2.2.3)
為了便于處理源點附近的奇異性、開放區域的邊界條件以及源為有限大小時的情形，將總場 分離成背景場 和二次場 ，即
， (2.2.2.4)
若設 為背景介質的電導率，由式(2.2.2.4)代入式(2.2.2.3)得
(2.2.2.5)
其中： 代入式(2.2.5)整理得：
(2.2.2.6)
將式子（2.2.2.6）分解成場的三個分量。在下邊的分析中，為了簡化書寫，將 中的下標“s”省去。將旋度算子 式(2.2.1.5)代入式(2.2.2.6) 得到電場的三個分量的方程:
(2.2.2.7a)
，
(2.2.2.7b)
，
(2.2.2.7c)
式中 ， 和 分別為電導率在 三個方向上的值； ， 和 分別為背景場 在 三個方向上的分量。
對方程 (2.2.2.7a)-(2.2.2.7c) 按圖(2.2.1.1)的場分布離散化，以式子(2.2.2.7a)為例：
首先離散化其中的式子： (2.2.2.8)
離散原理：
以下在分別把式子(2.2.2.8)其中各項結合Yee式交錯網格進行離散化：
A: 結合圖(2.2)對下式進行分解
圖2.2 離散Ex網格圖
;
;
B: 結合圖(2.3)對下式進行分解
圖2.3 離散Ey網格圖
;
;
C: 結合圖(2.4)對下式進行分解
圖2.4 離散Ez網格圖
；
最后，把式子(2.2.1.8)和(2.2.1.9)以及上面離散化的式子共同代入式子(2.2.2.7a)
整理得：
式中, , 是相鄰網格長度的平均值，其他兩個分量的離散化關系式可輪換下腳標和坐標變量得到。
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