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求二次函數關系式的技巧
求二次函數的關系式，是初中數學的重要內容之一.學會求二次函數的關系式，可使許多問題迎刃而解，怎樣求二次函數的關系式呢?有什么技巧呢?現舉例說明如下.
一、用二次函數的性質求
例1 已知某二次函數的圖像關于y軸對稱，且過點(0，8)，其形狀和y=2x2+3x+5的圖像形狀相同，位置不同，開口方向相反.求此二次函數的關系式?
分析與解：此題必須熟知二次函數關系式中的系數和圖像的關系.二次項的系數的絕對值決定它的形狀，只要其絕對值相等，其形狀就形同，二次項系數的正負決定它的開口方向，二次項的系數是正數，則圖像開口向上，是負數則開口向下.一次項的系數決定圖像的左右位置：開口向上時，一次項的系數增大，圖像向左平移，一次項的系數減小，圖像向右平移;開口向下時，一次項的系數增大，圖像向右平移，一次項的系數減小，圖像向左平移;一次項的系數為零時，圖像關于y軸對稱.常數項就是圖像與y軸的交點縱坐標.知道了如上知識，不難知道，本題中的二次函數的二次項系數為負2，一次項系數為0，常數項為8，所以此二次函數的關系式為y=-2x2+8.此題的技巧在于弄清并利用系數與圖像的關系.
二、用一般式求
例2 已知某二次函數的圖像過點(0，0)，(1，-6)和(2， -8).求此二次函數的關系式.
分析與解：此函數的圖像過點(0，0)，說明其常數項為0，所以，可設其函數關系式為：y=ax2+bx，把點(1，-6)和點(2，-8)代入得方程-6=a+b和-8=4a+2b，這二個方程組成方程組，解之可得：a=2，b=-8.所以此函數的表達式為y=2x2-8x.此方法的技巧是利用坐標與圖像的關系，推出常數項為0，使列的方程組較簡便.
三、用頂點式或兩根式求
例3 已知某二次函數過點(1，0)，(5，0)和(3，8).求此二次函數的關系式.
1. 用頂點式求
分析與解：仔細觀察，不難發現，給出的三個點的橫坐標分別是1，3，5.其中3恰好在1和5的中間，根據二次函數圖像的對稱性可知，3就是它的頂點橫坐標，那么(3，8)就是它的頂點坐標，所以此題也可用頂點式來求，設它的關系式為：y=a(x-3)2+8.把點(1，0)代入得0=a(1-3)2+8 解此方程可得a=-2，所以此二次函數的關系式為y=-2(x-3)2+8，化為一般形式為y=-2x2+12x-10.此方法的技巧在于：利用二次函數的對稱性，發現(3，8)是頂點坐標，利用頂點式求解，又快又對.
2.用兩根式求
分析與解：仔細觀察還可發現，點(1，0)，(5，0)都在x軸上，所以還可用兩根式求解，設y=a(x-1)(x-5)，把點(3，8)代入此關系式得8=a(3-1)(3-5)，解得a=-2，所以此二次函數關系式為y=-2(x-1)(x-5).化為一般形式為y=-2x2+12x-10 此方法的技巧是：仔細觀察，發現兩根，再用兩根式求解.
四、用實際問題中的數量關系求
有些問題無法用上面的方法求函數關系式，但是可利用題中的數量關系求出其函數關系式，再進一步用二次函數的有關知識求解.常見的有以下兩種情況.
1.有關商品銷售的問題
例4 已知某商場銷售某商品，該商品的進價是每件90元，調查發現，若定價為每件100元，每天可售出500件，在此基礎上，價格每上漲1元，每天就少售出20件，求定價為多少元時，每天獲得的利潤最多?為多少元?
分析：本題無法用上面的關系求關系式，但可根據題中的數量關系求出二次函數關系式，本題中的數量關系是：日利潤=每件的利潤×日銷售的件數.
解：設定價為每件x元時，日獲利為y元，由題意得：
y=(x-90)[500-20(x-100)]
=-20x2+4 300x-225 000
=-20(x-107.5)2+6 125
所以當x=107.5時，y有最大值6 125，即每件定價為107.5元時，日獲利潤最多，為6 125元.
2.有關面積的問題
例5 用100米長的籬笆，圍一個矩形雞舍，求長和寬各為多少時，雞舍的面積最大，最大面積為多少平方米?
分析：此題根據長×寬=面積.即可求出二次函數關系式.
解：設長為x米時面積為y米.由題意得
y=(100÷2-x)x
=-x2+50x
=-(x-25)2+625
所以，當長為25米時，面積最大，最大面積為625平方米.此時，寬為100÷2-25=25米，即此時為正方形.
以上幾種方法和技巧，是求二次函數關系式常用的方法和技巧，學會上面的方法和技巧，做二次函數問題時會又快又對，望各位同學認真學習以上方法和技巧，真正理解其精髓，達到能靈活運用和熟能生巧的程度，那么您的中考成績肯定因為學習這篇文章而漲不少分數的.這是我二十多年教學經驗的精華，若能認真研讀，肯定受益許多!
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